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1_t的傅里叶变换

1_t的傅里叶变换

函数 \\( \\frac{1}{t} \\) 的傅里叶变换可以通过以下公式表示:

\\[ \\mathcal{F}\\left(\\frac{1}{t}\\right) = -i \\pi \\text{sgn}(f) \\]

其中:

\\( \\mathcal{F} \\) 表示傅里叶变换;

\\( i \\) 是虚数单位,满足 \\( i^2 = -1 \\);

\\( \\pi \\) 是圆周率,约等于 3.1415926;

\\( f \\) 是频率变量;

\\( \\text{sgn}(f) \\) 是符号函数,其定义为:

\\[ \\text{sgn}(f) = \\begin{cases}

+1 & \\text{if } f > 0 \\\\

-1 & \\text{if } f < 0 \\\\

0 & \\text{if } f = 0

\\end{cases} \\]

这个结果表明,函数 \\( \\frac{1}{t} \\) 的傅里叶变换在频率域中是一个与频率 \\( f \\) 成正比的纯虚数,其符号取决于频率的正负。

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